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蒙特卡洛抽样方法

来源:首页 | 时间:2019-04-15

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  重要抽样法(3.5.3) :积分可以代表一个参数的期望值,因此,在可靠性评 估中使用蒙特卡洛法去评估积分和充分性参数是等价的。 重要抽样法可以用评估 积分的问题来说明。 考虑以下积分: I ? ? g ( x)dx 0 1 (1-1) 使用估计期望值的方法,可以将 I 表示如下: 1 N I ? E ( g (U )) ? ? g ( xi ) N i ?1 (1-2) U 表示 [0,1] 区间上均匀分布的随机数序列, g (U ) 表示在均匀分布区间内产 生随机数,并带入 g ( x) ,结合上式计算积分。如果抽样的概率密度函数从均匀 分布变成了 f ( x) , f ( x) 与 g ( x) 具有相同的曲线形状,那么所产生的对于积分式 结果影响较大的随机数出现概率也会更大。 f ( x) 称为重要抽样密度函数。 如果 f ( x) 与 g ( x) 具有相似的形状,那么积分值的方差也越小。 分层抽样法 (3.5.4) : 分层抽样法的思想与重要抽样法相似, 为了减小方差, 尽量地使更多的样本落在对模拟结果有重要影响的区间内。 分层抽样法的方差比 在整个区间上使用平均值估计法更小, 并且当 N j 满足下式时, 方差取得最小值。 d j? j (1-3) Nj ? N m ? j ?1 d j? j N j 表示第 j 号区间内取点的个数, ? j 表示第 j 号区间内采用均匀分布抽样 的方差, d j 表示第 j 号区间的长度。由上式可以看出,当 N j ? d j? j 时,总体的 方差取值最小。 在电力系统中, 年度负荷曲线上的高负荷水平点对不可靠参数的评估比低负 荷点影响更大,因此,分层抽样法适用于基于年度负荷曲线的可靠性评估。 截断抽样法(3.5.6) :这种方法适用于两状态变量和小概率事件。电力系统 可靠性评估中,系统元件状态可以用两个状态变量来表示(0 和 1) ,并且系统元 件发生故障是小概率事件。 可靠性评估中的三种模拟方法: 状态抽样法:系统的状态取决于所有组成元件的状态,并且每个元件的状态 都可以通过元件状态的概率分布来抽样决定。 每个元件的状态可以用 [0,1] 区间上的均匀分布来描述。 假定元件具有故障和 正常运行两个状态,并且元件故障是相互独立的事件。设 S i 表示第 i 个元件的状 态, PFi 表示其故障概率,为第 i 个元件在 [0,1] 均匀分布上取出随机序列 U : ?0 非故障 U i ? PFi Si ? ? (1-4) ?1 故障 0 ? U i ? PFi 含有 m 个元件的系统状态可以表示为: S ? ( S1 ,?, Si ,?, Sm ) 系统状态的参数函数期望值为: E ( F ) ? ? F ( S ) P( S ) S?G (1-5) 假定每种系统状态发生的概率为 P( S ) ,可靠性参数的函数为 F ( S ) ,则整个 (1-6) 式中 G 为表示系统所有状态的集合(状态集) 。将上式的 P( S ) 代换成状态 S 的采样频率: E ( F ) ? ? F (S ) S?G n( S ) N (1-7) 式中 N 为样本数, n( S ) 为状态 S 发生的次数。 F ( S ) 可通过适当的系统分析 得出。这种状态抽样法的优点是: (1)抽样相对简单。它只需在均匀分布上产生随机数字,而不需要去抽样 产生分布函数; (2)所需要的可靠性数据相对较少,仅有研究元件状态概率时需要; (3)状态抽样法不仅适用于元件故障时间,也适用于系统中其他可靠性参 数的状态评估,如负荷、水文和天气状态等。 缺点是不能被其自身用来计算实际的频率参数。 状态持续时间的抽样方法: 这种方法是基于元件状态持续时间的抽样概率函数的。 马尔可夫(Markov)数学模型 定义:所有变化着的事物表现状态可能是数值的、非数值的、连续的、离散 的。在这种情况下,我们需要建立一种研究的是一类重要的随机过程,研究对象 的状态 s(t ) 是不确定的,它可能取 k 种状态( si (i ? 1,?, k ) )之一,有时甚至可取 无穷多种状态的模型,这种模型就是 Markov 模型。 在建模时,时间变量也被离散化,我们希望通过建立两个相邻时刻研究对象 取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律, 故马氏链研究的也是一类状态 转移问题。 马尔可夫性(无后效性) :过程(或系统)在时刻 t 所处的状态为已知的条件 0 下,过程在时刻 tt 所处状态的条件分布与过程在时刻 t 之前所处的状态无关。 0 0 用分布函数表述马尔可夫性: 设随机过程 ? X (t ), t ? T ? ,其状态空间为 S ,对参数集 T 中任意 n 个数值 t1 ? t2 ? ? ? tn , n ? 3, ti ? T 。 P ? X (tn ) ? in X (t1 ) ? i1 ? X (tn ?1 ) ? in ?1? ? P ? X (tn ) ? in X (tn ?1 ) ? in ?1? (1-8) 则 过 程 ? X ( t ) , t? T ? 具有马尔可夫性,并称此过程为马尔可夫过程, ? X n , n ? 0,1, 2,?? 为离散时间、离散状态的马尔可夫过程或称为马尔可夫链。 马 尔 可 夫 链 的 有 限 维 分 布 完 全 由 初 始 分 布 P ? X 0 ? i0 ? 和 条 件 概 率 P ? X n ? in X n ?1 ? in ?1? 决定。 Pij (n) ? P ? X n ?1 ? j X n ? i? 为一步转移概率。 若马尔可夫链的一步转移率与时间无关,则: Pij ? P ? X n ?1 ? j X n ? i? ? P ? X n ?1 ? j X 0 ? i? (1-9) 马氏链的基本方程: ? ,k ( n ? 0,1, ? ,状态概率 ) ai (n) ? P( X n ? i ) , i ? 1, 2,?, k , 状态 X n ? 1, 2, n ? 0,1,? ,并且有: ? a ( n) ? 1 转移概率: Pij ? P ? X n ?1 ? j X n ? i? 并且 i ?1 i k (1-10) ? P ( n) ? 1 j ?1 ij k i ? 1, 2,? , k (1-11) 意思就是从 j 状态转移到 i 状态的所有情况。 基本方程: ai (n ? 1) ? ? a j (n)Pji j ?1 k i ? 1, 2,? , k (1-12) 状态概率相量:a(n) ? ? a1 (n), a2 (n),?, ak (n) ? 表示在第 n 个时刻分别出现状态 i ? 1, 2,?, k 的概率。 转移概率矩阵: P ? ? Pij ?k ?k ,每一行的和均为 1 重要的关系式: a ( n ? 1) ? a ( n) P ? a ( n) ? a (0) P n (1-13)


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